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Estadística

Nota previa: Como hace ya algunos cursos se decidió que no se preguntaría en EBAU sobre contraste de hipótesis, las preguntas de este tema se muestran en rojo y resuelvo con los mismos datos el cálculo de intervalos de confianza.

 

Junio/09

Se ha comprobado que el peso (en kilogramos) de los recién nacidos en cierta población se distribuye según un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra aleatoria de 64 recién nacidos en esa población se ha determinado un peso medio de 3,1 kilogramos y una varianza de 0,81 kilogramos2.

¿Podríamos rechazar la hipótesis con un nivel de significación del 1%, de que el peso medio de un recién nacido en esa población es de 3 kilogramos? Justificar la respuesta.

Calcula el intervalo de confianza para el peso medio de los recién nacidos con una significación del 1%.

Solución

Septiembre/09

Se ha comprobado que el peso (en gramos) de las truchas de cierta piscifactoría se distribuye según un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra aleatoria de 50 truchas de dicha piscifactoría se ha determinado:

, siendo i x el peso de la i-ésima trucha, i=1, 2, ….., 50.

¿Podríamos rechazar, con un nivel de significación del 5%, la hipótesis de que el peso medio de las truchas de esa piscifactoría es de 200 gramos? Justificar la respuesta.

Calcula el intervalo en que se encuentra la media con una significación del 5%.

Solución

Junio/10

En una amplia población constituida por pequeñas y medianas empresas españolas se selecciona una muestra aleatoria de 180 empresas. Sabiendo que en la muestra seleccionada hay 9 empresas extremeñas, determinar justificando la respuesta:

a) El intervalo de confianza al 99% para el porcentaje de empresas extremeñas en esa población

b) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos que dicho porcentaje es un 5%.

Solución

Septiembre/10

Se ha comprobado en repetidos estudios que el número de pulsaciones en reposo de ciertos deportistas sigue una distribución normal. En una muestra de 50 de esos deportistas, se obtiene una media de 47 pulsaciones por minuto y una cuasi-desviación típica de 7 pulsaciones por minuto.

¿Se puede rechazar a un nivel de significación de 0.01 que el número medio de pulsaciones por minuto es 45? Justificar la respuesta.

 Calcula el intervalo con una confianza  del 99% en que se encuentra el número medio de pulsaciones en reposo de los deportistas.

Solución

Junio/11

En una ciudad se está realizando un estudio para comprobar si los alumnos matriculados en secundaria utilizan Internet para el estudio. En la ciudad hay 900 alumnos matriculados en 1º de E.S.O., 1360 en 2º de E.S.O., 1280 en 3º de E.S.O. y 940 en 4º de E.S.O. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra de 672 alumnos con afijación proporcional.

a) ¿Cuántos alumnos de cada uno de los cursos hay en la muestra?

b) Si en 4º de E.S.O. contestan afirmativamente 120 alumnos ¿Cuál es la estimación de la proporción de alumnos que utiliza Internet en ese curso?

c) Para un nivel de confianza del 95%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual anterior. Justificar las respuestas.

Solución

Septiembre/11

Una biblioteca desea estimar el porcentaje de libros infantiles que posee. La biblioteca está compuesta de 4 salas (Norte, Sur, Este y Oeste) con 2500, 2740, 4000 y 6900 libros, respectivamente. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra del 5% de los libros con afijación proporcional.

a) ¿Cuántos libros, de cada una de las salas hay en la muestra?

b) Si en la muestra de la sala Sur hay 30 libros infantiles, ¿Cuál es la estimación de la proporción de libros infantiles en esa sala?

c) Para un nivel de confianza del 90%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual anterior. Justificar las respuestas

Solución

Junio/12

Una muestra de 2000 familias es seleccionada aleatoriamente en cierta ciudad. Se comprueba que 300 de ellas disponen de acceso a Internet desde su domicilio. Determinar, justificando la respuesta:

a) El intervalo de confianza al 99% para el porcentaje de familias de esa ciudad que disponen de acceso a Internet desde su domicilio.

b) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos que dicho porcentaje es un 15%.  

Solución

Septiembre/12

En un estudio realizado por un laboratorio, sobre una muestra de 500 cigarrillos, se ha obtenido que, siendo xi el número de miligramos de nicotina del i-ésimo cigarrillo. Se sabe, además, que el número de miligramos de nicotina por cigarrillo sigue una distribución normal con varianza 16.

Con un nivel de confianza del 90%, ¿podríamos rechazar la hipótesis propuesta por el fabricante, de que el número medio de miligramos de nicotina en un cigarrillo es 9? Justificar la respuesta

Calcula el intervalo con una confianza del 90% donde se encuentra la media del peso de nicotina de los cigarrillos de ese fabricante.

Solución

Junio/13

Una compañía de zapatillas ha sacado un nuevo modelo. En su publicidad indican que los atletas de medio fondo pueden disminuir el tiempo de sus marcas en 4 segundos. Se realizan pruebas a 100 atletas y se observa que el tiempo medio de disminución fue de 3.5 segundos. Se sabe que la distribución de ese tiempo es normal con desviación típica 4 segundos.

Con un nivel de confianza del 95%, ¿podríamos aceptar que la hipótesis de la compañía es cierta? Justificar la respuesta.

Calcula el intervalo con una confianza del 95% donde se encuentra la media de la disminución del tiempo de las marcas.

Solución

Septiembre/13

El cociente intelectual de una persona se obtiene tras la repetición de diferentes tests. Se sabe que los resultados de dichos tests se distribuyen según una normal con desviación típica 10 y media desconocida µ . Se le realizan a una persona 9 tests obteniendo los siguientes resultados: 105, 106, 109, 115, 100, 117, 116, 114, 108.

a) Calcular el intervalo de confianza al 95%

b) Al 95% de confianza ¿se puede rechazar la hipótesis de que µ es 120? Justificar las respuestas

Solución

Junio/14

Una compañía aérea tiene contratada una empresa para la recuperación de los equipajes perdidos de sus pasajeros. Para probar la eficiencia de la empresa, la compañía desea saber la proporción de equipajes recuperados. Para ello realiza una encuesta a 122 pasajeros que perdieron el equipaje. De ellos, 103 lo recuperaron.

a) ¿Cuál es la estimación de la proporción de equipajes recuperados?

b) Obtener el intervalo de confianza al 99% para la estimación puntual anterior. Justificar la respuesta

Solución

Julio/14

En un país en vías de desarrollo se quiere estimar la proporción de mujeres en su población. El país se compone de 4 regiones (A, B, C y D) con 1 millón, 2 millones, 2.5 millones y 7 millones de habitantes respectivamente. Se selecciona una muestra aleatoria estratificada del 1% de la población con afijación proporcional.

a) ¿Cuántos habitantes de cada una de las regiones hay en la muestra?

b) Si en la muestra de la región A hay 5100 mujeres, ¿Cuál es la estimación de la proporción de mujeres en esa región?

Solución

Junio/15

Una compañía produce bolsas de golosinas y en el envase indica que pesan 454 g. Una clase de alumnos desea comprobar si es cierto. Seleccionan al azar 50 bolsas y obtienen una media de 451.22 g. Se sabe que el peso de las bolsas se distribuye según una distribución normal con varianza 70 g2.

Con un nivel de confianza del 95%, ¿se puede rechazar la hipótesis de que las bolsas pesan 454 g? Justificar la respuesta.

Calcula el intervalo con una confianza del 95% donde se encuentra el peso medio.

Solución

Julio/15

Se realizó un estudio para determinar la resistencia a la rotura de dos tipos de vigas. Para una muestra aleatoria formada por 30 vigas de hormigón la resistencia media muestral fue de 29.8 unidades. También se obtuvo una muestra aleatoria de 30 vigas de acero obteniendo una resistencia media muestral de 32.7 unidades. Se supone que las distribuciones de la resistencia a la rotura de los dos tipos de viga son normales con varianza 16.

Con un nivel de confianza del 95%, ¿se puede rechazar la hipótesis de que los dos tipos de viga tienen la misma resistencia a la rotura? Justificar la respuesta.

Calcular los intervalos de confianza al 95% donde se encuentra la resistencia media para ambos tipos de vigas.

Solución

Junio/16

Se seleccionó una muestra de deportistas de alto nivel en cierto país. Se les preguntó si la competición les producía problemas de ansiedad. Los datos recogidos fueron los siguientes: Sí, Sí, No, Sí, No, No, Sí, Sí, No, No, No, Sí, No, No, Sí, No, Sí, No, No, No Determinar, justificando las respuestas:

a) Una estimación del porcentaje de deportistas de alto nivel de ese país con problemas de ansiedad ante la competición.

b) Un intervalo de confianza (al 99%) para el porcentaje de deportistas de alto nivel de ese país con problemas de ansiedad ante la competición.

c) El error máximo cometido con la estimación dada en el apartado a), con un 99% de confianza.

Solución

Julio/16

El porcentaje de peso que se pierde tras la realización de un programa de ejercicios sigue una distribución Normal con desviación típica 0.5, tanto en hombres como en mujeres. Un grupo de hombres y otro de mujeres de cierta región realizaron dicho programa de ejercicios. Se recogió la siguiente información sobre el porcentaje de peso perdido: Hombres 3.1 3.9 3.7 4.0 4.1 4.2 4.0 3.8 3.9 4.1 Mujeres 3.0 3.8 2.5 4.1 3.7 3.6 3.3 4.0 3.7 2.9 Se pide, justificando las respuestas:

a) Una estimación del porcentaje medio de peso que se pierde en mujeres.

b) ¿Se podría concluir, para α=0,05 , que el porcentaje medio de peso que se pierde es diferente en hombres y en mujeres?

 b) Calcula los intervalos de confianza en que se encuentra el porcentaje medio de la pérdida de peso para ambos sexos con α=0,05.

Solución

Junio/17

Una empresa de franquicias ha observado que durante el último año los beneficios han disminuido. Sospecha que hay una mala gestión de las tiendas. Realiza un estudio para comprobarlo y de 95 tiendas muestreadas, 28 de ellas tienen mala gestión.

a) Calcula el intervalo de confianza al 95% de la proporción de tiendas mal gestionadas.

b) Si la empresa, quiere que la longitud del intervalo sea de 0.1, ¿Cuántas tiendas debería muestrear?

Solución

Julio/17

Para realizar el control de calidad en la fabricación de protectores de pantalla de dispositivos móviles se utiliza el intervalo de confianza al 99% del grosor de los mismos. Se sabe que la distribución del grosor es una normal de desviación típica conocida de 0.1 milímetro. Una empresa quiere crear su intervalo de confianza y muestrea 10 protectores con los siguientes grosores (en mm) 0.50 0.43 0.37 0.27 0.60 0.32 0.31 0.27 0.40 0.36

a) Calcular el intervalo de confianza al 99% del grosor medio de los protectores.

b) Para que el intervalo de confianza sea útil, su longitud debe ser 0.1. ¿Cuántos protectores necesita muestrear la empresa para obtener esa precisión? Justificar las respuestas

Solución

Junio/18

Una región agrícola se dedica a la producción de tomates. Durante este año se ha utilizado un nuevo abono y se quiere estimar la cantidad ele tomate producido por hectárea. Se han muestreado 37 zonas y la producción media ha sido de 78 tn por hectárea. Se sabe que el número de tn por hectárea sigue una distribución normal con desviación típica 2.

(a) Calcular el intervalo de confianza al 95%.

(b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral para que el intervalo tenga una longitud de 0.5?

.Justificar la respuesta

Solución

Julio/18

En una ciudad se desea estimar la proporción do hogares que reciclan sus envases de plástico. La ciudad está dividida en cuatro barrios (A, B, C y D) con 800, 2000, 1200 y 1000 hogares respectivamente. Se selecciona mediante muestreo estratificado con afijación proporcional una muestra de 400 hogares.

(a) ¿Cuántos hogares de cada uno de los barrios se incluirán en la muestra?

(b) Si en el barrio B, 64 hogares de la muestra reciclan, ¿cuál es la estimación de hogares que reciclan en ese barrio?

(c) Proporcionar un intervalo de confianza al 95 % para la estimación puntual anterior.

Justificar las respuestas.

Solución

Junio/19

El tiempo, en horas, que tarda cierta compañía telefónica en hacer efectiva la portabilidad de un número de teléfono sigue una distribución normal con desviación típica 24 horas. Se pregunta a 100 clientes por el tiempo invertido en la portabilidad, obteniéndose una media de 36 horas. Se pide, justificando las respuestas:

(a) Calcular el intervalo de confianza al 95 % para la media de tiempo que tarda dicha compañía en hacer efectiva la portabilidad.

(b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral para que el intervalo tenga una longitud de 5?

Solución

Julio/19

Se realiza un estudio sobre el tiempo de reacción de los conductores ante un imprevisto. Se considera una población de 10000 conductores, de los cuales 5OOO tienen una antigüedad superior a 10 años, 3000 tienen una antigüedad entre 3 y 10 años y el resto tienen una antigüedad inferior a 3 años. Se selecciona una muestra de 500 conductores mediante muestreo estratificado con afijación proporcional. Se pide, justificando la respuesta:

(a) ¿Cuántos conductores de cada uno de los estratos mencionados anteriormente se incluirán en la muestra?

(b) En los conductores con una antigüedad de menos de 3 años que resultan elegidos en la muestra, se observa que el tiempo  medio de reacción es de 1.2 segundos, Supuesta que dicha variable tiene distribución normal con desviación típica 0.3 segundos, proporcionar un intervalo de confianza al 5 % para el tiempo medio de reacción de estos conductores.

Solución

Junio/20-1

El peso de los libros de texto es una variable que sigue una distribución normal con una desviación típica de 72 gramos. Se toma una muestra de 36 libros, siendo su peso medio de 800 gramos. Calcular, justificando la respuesta, el intervalo de confianza al 95 % para el peso medio de los libros de texto.

Solución

Junio/20-2

Se pretende realizar un estudio sobre la renta mensual de las familias. Dicha variable sigue una distribución normal con una desviación típica 400 euros. Si deseamos obtener un intervalo de confianza a! 95 % para la media de dicha variable, ¿cuántas familias tenemos que seleccionar (tamaño muestral) para que el intervalo tenga una longitud de 160 euros? Justificar la respuesta.


Solución