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Funciones

Problemas-funciones

1.- El número de unidades vendidas de un producto es función del precio en euros, x, viene dado por la función y=50-x, donde el precio varía entre 0 y 50. Si por cada unidad vendida se obtiene un beneficio x-10, determinar de forma razonada el precio x que produce un mayor beneficio, el número de unidades vendidas a este precio y el beneficio obtenido.

Solución



2.- Tras el test efectuado con un nuevo modelo de automóvil para determinar el consumo de gasolina, se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 25 y 175 km/h, el consumo C(x) de gasolina, expresado en litros consumidos cada 100 km, recorridos a una velocidad constante de x km/h, se puede aproximar por la función:

C(x)=7,5-0,05x+0,00025x2

a) determinar el consumo a las velocidades de 50 km/h y de 150 km/h.

b) ¿a qué velocidad se obtiene el mínimo consumo? ¿cuál es ese consumo mínimo?

Solución



3.- Una empresa de transporte aéreo ha estudiado la relación existente entre el beneficio obtenido y el número de vuelos realizados entre dos ciudades (ambos diarios), llegando a la conclusión de que viene dado por:


Con B en millones de euros y siendo x el número de vuelos diarios.

¿Con cuántos vuelos se obtendría el máximo beneficio? ¿Cuál será dicho beneficio máximo?

Solución



4.- En un invernadero se ha medido la relación existente entre la cosecha obtenida y la cantidad de abono usado (ambos en kg), obteniendo la función C(x) escrita más abajo. ¿Qué cantidad de abono hay que usar para obtener la mejor cosecha? ¿Cuántos kg pesará esta mejor cosecha?

C(x)=2x3 - 9x2 + 12x -2

Solución



5.- El índice de popularidad de cierto gobernante era de 2.5 puntos cuando inició su mandato. A los 50 días alcanzó el máximo índice de popularidad con 7.2 puntos. Sabiendo que durante los primeros 100 días de su mandato dicho índice fue cambiando de acuerdo con la expresión: I(t)= At2 +Bt + C , 0 t 100 se pide:

a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta.

b) Representar la función obtenida

Solución



6.- Se ha determinado que el coste total (en euros) que le supone a cierta empresa la producción de n unidades de determinado artículo varía según la función C(n)=2n3+270n+2048. Determinar, justificando la respuesta:

a) La función que define el coste por unidad producida.

b) El número de unidades que deben producirse para hacer mínimo el coste por unidad.

c) El valor de dicho coste mínimo por unidad.

Solución



7.- Se espera que en los próximos 10 años, las ganancias (en millones de euros) de una empresa, vengan dado por la función G(t)= -2 t2 + 20 t + 5. Se pide:

a) ¿Cuándo las ganancias serán igual a 5 millones de euros?

b) Determinar en qué años las ganancias decrecen. ¿cuándo son máximas? ¿a cuánto ascienden?

Solución



8.- Una empresa quiere producir c(t)=200+10t unidades de un producto que quiere vender a p(t)=200-2t euros cada unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción.

a) Hallar, dependiendo de t, la función beneficio B(t).

b) Determinar el beneficio máximo y cuándo se producirá.

Solución



9.- La función:

representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcula el número de artículos que deben venderse para obtener el máximo beneficio y determinar dicho beneficio máximo.

Solución



10.- Si la relación funcional entre la superficie de un cuadro y su base viene dada por S=150x - x2 , siendo x la base en cm:

a) ¿cuál es la superficie del cuadro que tiene de base 25 cm?

b) ¿qué dimensión ha de tener la base para que la superficie sea máxima?

c) ¿cuál es la superficie máxima?

Solución



11.- Una cadena de televisión ha presentado un nuevo programa para la franja de las 11 a las 15 horas. El share o porcentaje de audiencia de la primera emisión vino dado por la siguiente función, donde S(t) representa el share en el tiempo t, en horas. Para que el programa siga emitiéndose el share ha tenido que alcanzar, en algún momento el 30%:

S(t)= —t3+ 36t2 — 420t + 1596 11 ≤ t ≤ 15

a) Indica cuándo creció el share y cuándo decreció ¿El programa seguirá emitiéndose?

b) Haz una gráfica aproximada.

Solución



12.- Una empresa ha estimado que los ingresos y los gastos anuales (en pesetas) que genera la fabricación y venta de x unidades de un determinado producto, vienen dados por las funciones:

I(x) = 28x2 + 36000x

G(x) = 44x2 + l2000x + 700000

Determina, justificando las respuestas:

a) la función que define el beneficio anual.

b) el número de unidades que hay que vender para que el beneficio sea máximo.

c) el valor de dicho beneficio máximo.

Solución



13.- El beneficio generado al invertir anualmente x miles de euros en un plan de pensiones viene dado por la función B(x)= -x3 + 6x2 + 15x + 140.

¿Qué cantidad habrá que invertir para que los beneficios obtenido sean máximos?

Solución



14.- Se ha medido la concentración de monóxido de carbono emitida a la atmósfera en una cierta ciudad, obteniéndose la función C(t)=2t3 - 3t2 - 120t + 430. ¿A qué hora será mínima la concentración de monóxido de carbono?

Solución



15.- Un centro comercial abre a las 10 h y cierra a las 22 h. Se ha probado que el número de personas que acuden a dicho centro viene representada por:

N(t)=at2+bt+c 10£ t £ 22

Sabiendo que a las 18 h se registra un afluencia máxima de 64 personas y que cuando el centro comercial abre no hay ningún cliente calcular a, b y c y hacer una representación gráfica de la función obtenida.

Solución



16.- Una cadena de televisión ha presentado un nuevo programa para la franja horaria de 11 a 15 horas. El share o porcentaje de audiencia viene dado por la siguiente función:

f(t)= - t3 + 36t2 – 420t +1596 (11≤t≤15)

a) Indica cuando creció el share y cuando decreció

b)¿Cuando se produjo el máximo share y a cuanto ascendió?

Solución



17.- Sea la función f(x)= 2x3 + bx2 + ax -5 calcula a y b para que f tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=2.

Solución



18.- Una empresa ha estimado que los ingresos y gastos (en pesetas) que generan la producción de x unidades de un determinado producto es:

I(x)=28x2 + 36 000x

G(x)=44x2 + 12 000x + 700 000

a) Calcula la expresión que expresa los beneficios anuales

b) El número de unidades que hay que fabricar y vender para obtener el máximo beneficio

c) ¿A cuánto ascienden los beneficios máximos?

Solución